平移齐次坐标变换#
平移齐次坐标变换是用4×4齐次矩阵表示3维空间平移操作的数学工具，核心是将3维直角坐标中“非线性的平移”转化为4维齐次空间中“线性的矩阵乘法”，从而统一旋转、平移等变换形式。
1 数学表达#
变换对象：针对3维点的齐次坐标\( \widetilde{\boldsymbol{p}} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \)（末尾维度固定为1，区分点与方向向量）。
核心矩阵：若点沿x、y、z轴分别平移\( t_x \)、\( t_y \)、\( t_z \)，对应的平移齐次矩阵为：
\( {}^A T_B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
矩阵左上角3×3为单位矩阵（无旋转/缩放），右上角3×1为平移分量（存储平移量），最后一行为固定的[0,0,0,1]。
变换过程：通过矩阵乘法完成平移，即\( \widetilde{\boldsymbol{p}}' = {}^A T_B \cdot \widetilde{\boldsymbol{p}} \)，展开后对应3维直角坐标的平移\( \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ z + t_z \end{bmatrix} \)。
2 平移齐次坐标变换具体数值案例演#
以 “3 维点\( \boldsymbol{p} = (2, 3, 4) \)沿 x 轴平移\( t_x=5 \)、y 轴平移\( t_y=2 \)、z 轴平移\( t_z=0 \)” 为例，完整计算过程如下：
2.1 步骤 1：将 3 维直角坐标转为 4 维齐次坐标#
点的齐次坐标末尾固定为 1，因此：\( \widetilde{\boldsymbol{p}} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \)
2.2 步骤 2：构建平移齐次矩阵#
根据平移量\( t_x=5 \)、\( t_y=2 \)、\( t_z=0 \)，代入平移齐次矩阵公式（左上角 3×3 为单位矩阵，右上角为平移分量）：\( {}^A T_B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
2.3 步骤 3：执行齐次变换（矩阵乘法）#
按 “4×4 矩阵 × 4×1 向量” 规则计算，结果为变换后的齐次坐标\( \widetilde{\boldsymbol{p}}' \)：\( \widetilde{\boldsymbol{p}}' = {}^A T_B \cdot \widetilde{\boldsymbol{p}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \)
计算每一行结果（第 i 行 = 矩阵第 i 行元素与向量对应元素相乘后求和）：
第 1 行：1×2+0×3+0×4+5×1=2+0+0+5=7
第 2 行：0×2+1×3+0×4+2×1=0+3+0+2=5
第 3 行：0×2+0×3+1×4+0×1=0+0+4+0=4
第 4 行：0×2+0×3+0×4+1×1=1
最终得到：\( \widetilde{\boldsymbol{p}}' = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \)
2.4 步骤 4：将齐次坐标转回直角坐标#
忽略齐次坐标末尾的 1，提取前 3 个分量即为平移后的直角坐标：\( \boldsymbol{p}' = (7, 5, 4) \)
2.5 步骤 5：结果验证#
对比原始点\( (2,3,4) \)与结果\( (7,5,4) \)，x 轴增加 5、y 轴增加 2、z 轴不变，完全符合预设平移量，验证变换正确。