通用旋转变换与罗德里格斯公式#

1 通用旋转变换的核心思路#

通用旋转变换（绕任意轴旋转）的本质是“坐标转换+标准旋转+逆转换”。通过构建过渡坐标系\( \{C\} \)，将“绕任意轴\( f \)旋转”转化为“绕\( \{C\} \)的\( z \)轴旋转”（标准旋转），再通过坐标系转换还原回原参考坐标系\( \{A\} \)，最终实现复杂旋转的简化计算。

2 问题背景与符号规范#

2.1 问题背景#

基础旋转仅涉及“绕通过原点的标准坐标轴（\( x/y/z \)轴）旋转”，旋转矩阵形式简单（如绕\( z \)轴旋转矩阵\( R_z(\theta) \)）。但实际场景中常需绕任意通过原点的单位轴\( \boldsymbol{f} = [f_x, f_y, f_z]^T \) 旋转\( \theta \)角，直接推导该旋转矩阵难度大，通用旋转变换即为此问题而生。

2.2 符号规范#

  • 旋转矩阵\( \boldsymbol{^A R_C} \)：表示“从坐标系\( \{C\} \)到坐标系\( \{A\} \)的旋转矩阵”。若点\( P \)在\( \{C\} \)中的坐标为\( \boldsymbol{^C p} \)，则其在\( \{A\} \)中的坐标为\( \boldsymbol{^A p} = \boldsymbol{^A R_C} \cdot \boldsymbol{^C p} \)。

  • 正交矩阵性质：旋转矩阵为正交矩阵，其逆等于转置，即\( \boldsymbol{^C R_A} = (\boldsymbol{^A R_C})^T \)，且满足\( \boldsymbol{^A R_C} \cdot (\boldsymbol{^A R_C})^T = \boldsymbol{I} \)（\( \boldsymbol{I} \)为3×3单位矩阵）。

3 核心步骤：过渡坐标系\( \{C\} \)的搭桥作用#

通用旋转变换通过“3步转化”实现复杂旋转的简化，具体流程如下：

  1. 构建过渡坐标系\( \{C\} \)
    令\( \{C\} \)的\( z \)轴与任意旋转轴\( \boldsymbol{f} \)重合（即\( \boldsymbol{z}_C = \boldsymbol{f} \)），\( x \)轴\( \boldsymbol{x}_C \)、\( y \)轴\( \boldsymbol{y}_C \)为垂直于\( \boldsymbol{f} \)的正交单位矢量（满足右手定则）。
    实操构造方法：任选不与\( \boldsymbol{f} \)平行的向量（如\( \boldsymbol{e}_x = [1,0,0]^T \)），若\( \boldsymbol{f} \)不平行于\( \boldsymbol{e}_x \)，则\( \boldsymbol{x}_C = \frac{\boldsymbol{e}_x \times \boldsymbol{f}}{\|\boldsymbol{e}_x \times \boldsymbol{f}\|} \)，再令\( \boldsymbol{y}_C = \boldsymbol{f} \times \boldsymbol{x}_C \)，即可构成右手正交基。

  2. 转化为绕\( \{C\} \)\( z \)轴旋转
    绕\( \boldsymbol{f} \)旋转\( \theta \)角，等价于绕\( \{C\} \)的\( z \)轴旋转\( \theta \)角（因\( \boldsymbol{f} = \boldsymbol{z}_C \)），此步骤可直接使用熟悉的绕\( z \)轴旋转矩阵\( R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)。

  3. 还原回原坐标系\( \{A\} \)
    通过\( \{C\} \)与\( \{A\} \)的坐标转换，将绕\( \{C\} \)\( z \)轴旋转的结果映射回\( \{A\} \)，最终得到绕\( \boldsymbol{f} \)旋转的矩阵。

4 数学推导：从通用变换到罗德里格斯公式#

4.1 过渡坐标系与原坐标系的关系#

设\( \{C\} \)的3个轴在\( \{A\} \)中的单位矢量为\( \boldsymbol{x}_C, \boldsymbol{y}_C, \boldsymbol{z}_C \)（\( \boldsymbol{z}_C = \boldsymbol{f} \)），则\( \{C\} \)相对于\( \{A\} \)的旋转矩阵为：
\( \boldsymbol{^A R_C} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{x}_C & \boldsymbol{y}_C & \boldsymbol{z}_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{Cx} & y_{Cx} & f_x \\ x_{Cy} & y_{Cy} & f_y \\ x_{Cz} & y_{Cz} & f_z \end{bmatrix} \)
其转置（即\( \{A\} \)到\( \{C\} \)的旋转矩阵）为：
\( \boldsymbol{^C R_A} = (\boldsymbol{^A R_C})^T = \begin{bmatrix} \boldsymbol{x}_C^T \\ \boldsymbol{y}_C^T \\ \boldsymbol{z}_C^T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{Cx} & x_{Cy} & x_{Cz} \\ y_{Cx} & y_{Cy} & y_{Cz} \\ f_x & f_y & f_z \end{bmatrix} \)

4.2 绕\( \boldsymbol{f} \)旋转的等价转换#

对空间任意点\( P \)，设其在\( \{A\} \)中的坐标为\( \boldsymbol{^A p} \)，求旋转后坐标\( \boldsymbol{^A p'} \)的步骤如下：

  • 步骤1：将\( \boldsymbol{^A p} \)转换到\( \{C\} \)：\( \boldsymbol{^C p} = \boldsymbol{^C R_A} \cdot \boldsymbol{^A p} \)

  • 步骤2：在\( \{C\} \)中绕\( z \)轴旋转\( \theta \)：\( \boldsymbol{^C p'} = R_z(\theta) \cdot \boldsymbol{^C p} \)

  • 步骤3：将\( \boldsymbol{^C p'} \)转换回\( \{A\} \)：\( \boldsymbol{^A p'} = \boldsymbol{^A R_C} \cdot \boldsymbol{^C p'} \)

合并得：\( \boldsymbol{^A p'} = \boldsymbol{^A R_C} \cdot R_z(\theta) \cdot \boldsymbol{^C R_A} \cdot \boldsymbol{^A p} \)，因此绕\( \boldsymbol{f} \)旋转的通用矩阵为：
\( \boxed{R(\boldsymbol{f}, \theta) = \boldsymbol{^A R_C} \cdot R_z(\theta) \cdot (\boldsymbol{^A R_C})^T} \)

4.3 关键化简：消去过渡坐标系冗余参数#

4.3.1 \( R_z(\theta) \)的分解（基于正交基性质）#

因\( \boldsymbol{x}_C, \boldsymbol{y}_C, \boldsymbol{z}_C \)为标准正交基，满足\( \boldsymbol{x}_C\boldsymbol{x}_C^T + \boldsymbol{y}_C\boldsymbol{y}_C^T + \boldsymbol{z}_C\boldsymbol{z}_C^T = \boldsymbol{I} \)（即\( \boldsymbol{x}_C\boldsymbol{x}_C^T + \boldsymbol{y}_C\boldsymbol{y}_C^T = \boldsymbol{I} - \boldsymbol{z}_C\boldsymbol{z}_C^T \)）。
将\( R_z(\theta) \)用正交基投影矩阵表示：
\( R_z(\theta) = \cos\theta \cdot (\boldsymbol{x}_C\boldsymbol{x}_C^T + \boldsymbol{y}_C\boldsymbol{y}_C^T) + \sin\theta \cdot (\boldsymbol{y}_C\boldsymbol{x}_C^T - \boldsymbol{x}_C\boldsymbol{y}_C^T) + \boldsymbol{z}_C\boldsymbol{z}_C^T \)

代入\( \boldsymbol{x}_C\boldsymbol{x}_C^T + \boldsymbol{y}_C\boldsymbol{y}_C^T = \boldsymbol{I} - \boldsymbol{z}_C\boldsymbol{z}_C^T \)，化简得：
\( R_z(\theta) = \cos\theta \cdot \boldsymbol{I} + (1 - \cos\theta) \cdot \boldsymbol{z}_C\boldsymbol{z}_C^T + \sin\theta \cdot (\boldsymbol{y}_C\boldsymbol{x}_C^T - \boldsymbol{x}_C\boldsymbol{y}_C^T) \tag{1} \)

4.3.2 代入通用矩阵并化简（修正叉积矩阵变换性质）#

将式(1)代入\( R(\boldsymbol{f}, \theta) = \boldsymbol{^A R_C} \cdot R_z(\theta) \cdot (\boldsymbol{^A R_C})^T \)，结合正交矩阵对叉积矩阵的共轭变换性质（而非“不变性”）：

若\( R \)为旋转矩阵，则\( R [\boldsymbol{v}]_\times R^T = [R \boldsymbol{v}]_\times \)，其中\( [\boldsymbol{v}]_\times \)为\( \boldsymbol{v} \)的叉积反对称矩阵（定义：\( [\boldsymbol{v}]_\times \cdot \boldsymbol{u} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{u} \)）。

逐项化简：

  • 第一项：\( \boldsymbol{^A R_C} \cdot (\cos\theta \cdot \boldsymbol{I}) \cdot (\boldsymbol{^A R_C})^T = \cos\theta \cdot (\boldsymbol{^A R_C} \cdot (\boldsymbol{^A R_C})^T) = \cos\theta \cdot \boldsymbol{I} \tag{2} \)

  • 第二项：\( \boldsymbol{^A R_C} \cdot [(1 - \cos\theta) \cdot \boldsymbol{z}_C\boldsymbol{z}_C^T] \cdot (\boldsymbol{^A R_C})^T = (1 - \cos\theta) \cdot (\boldsymbol{^A R_C} \boldsymbol{z}_C) \cdot (\boldsymbol{^A R_C} \boldsymbol{z}_C)^T \)。因\( \boldsymbol{z}_C = \boldsymbol{f} \)且\( \boldsymbol{^A R_C} \boldsymbol{z}_C = \boldsymbol{z}_C \)，故该项为\( (1 - \cos\theta) \cdot \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T \tag{3} \)

  • 第三项：\( \boldsymbol{^A R_C} \cdot [\sin\theta \cdot (\boldsymbol{y}_C\boldsymbol{x}_C^T - \boldsymbol{x}_C\boldsymbol{y}_C^T)] \cdot (\boldsymbol{^A R_C})^T \)。根据向量恒等式，\( \boldsymbol{y}_C\boldsymbol{x}_C^T - \boldsymbol{x}_C\boldsymbol{y}_C^T = [\boldsymbol{z}_C]_\times = [\boldsymbol{f}]_\times \)；结合共轭变换性质，\( \boldsymbol{^A R_C} [\boldsymbol{f}]_\times (\boldsymbol{^A R_C})^T = [\boldsymbol{^A R_C} \boldsymbol{f}]_\times = [\boldsymbol{f}]_\times \)，故该项为\( \sin\theta \cdot [\boldsymbol{f}]_\times \tag{4} \)

4.3.3 合并得到罗德里格斯公式#

将式(2)(3)(4)相加，最终绕任意轴\( \boldsymbol{f} \)旋转\( \theta \)的通用公式（罗德里格斯公式）为：
\( \boxed{R(\boldsymbol{f}, \theta) = \cos\theta \cdot \boldsymbol{I} + (1 - \cos\theta) \cdot \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T + \sin\theta \cdot [\boldsymbol{f}]_\times} \)

其中：

  • \( \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T \)：3×3外积矩阵（投影到\( \boldsymbol{f} \)轴方向），形式为\( \begin{bmatrix} f_x^2 & f_x f_y & f_x f_z \\ f_y f_x & f_y^2 & f_y f_z \\ f_z f_x & f_z f_y & f_z^2 \end{bmatrix} \)

  • \( [\boldsymbol{f}]_\times \)：3×3叉积反对称矩阵，形式为\( \begin{bmatrix} 0 & -f_z & f_y \\ f_z & 0 & -f_x \\ -f_y & f_x & 0 \end{bmatrix} \)

5 验证：通用公式退化为基础旋转#

以“绕\( x \)轴旋转”为例验证公式正确性：
令\( \boldsymbol{f} = [1, 0, 0]^T \)（\( x \)轴单位矢量），则\( \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} \)，\( [\boldsymbol{f}]_\times = \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix} \)。

代入罗德里格斯公式：
\( R(\boldsymbol{f}, \theta) = \cos\theta \cdot \boldsymbol{I} + (1 - \cos\theta) \cdot \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} + \sin\theta \cdot \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix} \)

展开后得到绕\( x \)轴旋转矩阵：
\( R(\boldsymbol{f}, \theta) = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} \)，与基础旋转矩阵一致，证明公式正确。

6 计算案例：绕指定轴旋转的矩阵求解#

以“绕轴\( \boldsymbol{f} = \left[ \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right]^T \)旋转\( \theta=90^\circ \)”为例，用罗德里格斯公式计算旋转矩阵。

6.1 明确已知条件#

  • 旋转轴\( \boldsymbol{f} = \left[ \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right]^T \)（单位矢量，满足\( f_x^2 + f_y^2 + f_z^2 = 1 \)）

  • 旋转角度\( \theta=90^\circ \)，三角函数值：\( \cos90^\circ=0 \)，\( \sin90^\circ=1 \)

  • 罗德里格斯公式：\( R(\boldsymbol{f}, \theta) = \cos\theta \cdot \boldsymbol{I} + (1 - \cos\theta) \cdot \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T + \sin\theta \cdot [\boldsymbol{f}]_\times \)

6.2 分步计算三项矩阵#

6.2.1 第一项：\( \cos\theta \cdot \boldsymbol{I} \)#

\( \cos90^\circ=0 \)，故该项为\( \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} \)

6.2.2 第二项：\( (1 - \cos\theta) \cdot \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T \)#

  • 计算\( \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T \)：\( \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \)

  • \( (1 - \cos90^\circ)=1 \)，故该项为\( \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \)

6.2.3 第三项：\( \sin\theta \cdot [\boldsymbol{f}]_\times \)#

  • 计算\( [\boldsymbol{f}]_\times \)：\( \begin{bmatrix}0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{bmatrix} \)

  • \( \sin90^\circ=1 \)，故该项为\( \begin{bmatrix}0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{bmatrix} \)

6.3 合并三项得到最终矩阵#

将三项矩阵对应元素相加：
\( R(\boldsymbol{f}, 90^\circ) = \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{bmatrix} \)

最终矩阵（精确形式）：
\( \boxed{R(\boldsymbol{f}, 90^\circ) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}} \)（小数近似：\( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 \)）

6.4 验证矩阵正确性#

取点\( \boldsymbol{p} = [1, 0, 0]^T \)，旋转后坐标\( \boldsymbol{p}' = R \cdot \boldsymbol{p} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \end{bmatrix}^T \)，验证如下：

  • 投影到\( \boldsymbol{f} \)轴：\( \text{proj}_{\boldsymbol{f}} \boldsymbol{p} = (\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{f}) \boldsymbol{f} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \boldsymbol{f} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \end{bmatrix}^T \)，旋转后投影不变（符合绕轴旋转特性）。

  • 垂直分量模长：\( \boldsymbol{p}_\perp = \boldsymbol{p} - \text{proj}_{\boldsymbol{f}} \boldsymbol{p} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2} \end{bmatrix}^T \)，模长\( \|\boldsymbol{p}_\perp\| = \frac{\sqrt{2}}{2} \)；\( \boldsymbol{p}'_\perp = \boldsymbol{p}' - \text{proj}_{\boldsymbol{f}} \boldsymbol{p} = \begin{bmatrix} 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \end{bmatrix}^T \)，模长同样为\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)（旋转后距离不变）。

  • 旋转角度：\( \boldsymbol{p}_\perp \cdot \boldsymbol{p}'_\perp = 0 \)，说明两垂直分量垂直，即旋转角度为\( 90^\circ \)（符合要求）。

7 通用旋转变换与罗德里格斯公式速查手册#

通用旋转变换通过“过渡坐标系搭桥”，将绕任意轴的复杂旋转转化为绕标准轴的简单旋转，结合正交矩阵的共轭变换性质消去冗余参数，最终得到仅依赖旋转轴\( \boldsymbol{f} \)和角度\( \theta \)的罗德里格斯公式，实现了任意旋转变换的统一、简洁表达。

7.1 基础符号定义#

符号

含义

说明

\( \boldsymbol{f} \)

任意旋转轴单位矢量

\( \boldsymbol{f} = [f_x, f_y, f_z]^T \)，满足 \( f_x^2 + f_y^2 + f_z^2 = 1 \)

\( \theta \)

旋转角度

右手定则判定旋转方向（拇指沿\( \boldsymbol{f} \)，四指为旋转方向）

\( \boldsymbol{^A R_C} \)

旋转矩阵

从坐标系\( \{C\} \)到\( \{A\} \)的变换，列向量为\( \{C\} \)轴在\( \{A\} \)中的方向

\( \boldsymbol{I} \)

单位矩阵

3×3矩阵，\( \boldsymbol{I} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \)

\( [\boldsymbol{f}]_\times \)

叉积反对称矩阵

由\( \boldsymbol{f} \)生成，描述叉积运算的矩阵形式

7.2 核心公式汇总#

7.2.1 过渡坐标系相关公式#

7.2.1.1 旋转矩阵定义#

\( \boldsymbol{^A R_C} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{x}_C & \boldsymbol{y}_C & \boldsymbol{z}_C \end{bmatrix} \)
\( \boldsymbol{^C R_A} = (\boldsymbol{^A R_C})^T \)（正交矩阵：逆=转置）
注：\( \boldsymbol{x}_C, \boldsymbol{y}_C, \boldsymbol{z}_C \)为\( \{C\} \)的轴矢量，且\( \boldsymbol{z}_C = \boldsymbol{f} \)

7.2.1.2 过渡坐标系构造（实操公式）#

  • 若\( \boldsymbol{f} \)不平行于\( \boldsymbol{e}_x = [1,0,0]^T \)：
    \( \boldsymbol{x}_C = \frac{\boldsymbol{e}_x \times \boldsymbol{f}}{\|\boldsymbol{e}_x \times \boldsymbol{f}\|} \)，\( \boldsymbol{y}_C = \boldsymbol{f} \times \boldsymbol{x}_C \)

7.2.2 通用旋转矩阵基础公式#

7.2.2.1 通用旋转矩阵表达式（过渡坐标系形式）#

\( R(\boldsymbol{f}, \theta) = \boldsymbol{^A R_C} \cdot R_z(\theta) \cdot (\boldsymbol{^A R_C})^T \)

7.2.2.2 绕z轴标准旋转矩阵\( R_z(\theta) \)#

\( R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

7.2.3 3. 罗德里格斯公式（核心通用公式）#

7.2.3.1 完整公式#

\( R(\boldsymbol{f}, \theta) = \cos\theta \cdot \boldsymbol{I} + (1 - \cos\theta) \cdot \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T + \sin\theta \cdot [\boldsymbol{f}]_\times \)

7.2.3.2 公式中关键子矩阵#

  • 外积矩阵\( \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T \)：
    \( \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T = \begin{bmatrix} f_x^2 & f_x f_y & f_x f_z \\ f_y f_x & f_y^2 & f_y f_z \\ f_z f_x & f_z f_y & f_z^2 \end{bmatrix} \)

  • 叉积反对称矩阵\( [\boldsymbol{f}]_\times \)：
    \( [\boldsymbol{f}]_\times = \begin{bmatrix} 0 & -f_z & f_y \\ f_z & 0 & -f_x \\ -f_y & f_x & 0 \end{bmatrix} \)

7.2.4 验证用公式（退化为基础旋转）#

7.2.4.1 绕x轴旋转（\( \boldsymbol{f} = [1,0,0]^T \)）#

\( R_x(\theta) = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} \)

7.2.4.2 绕y轴旋转（\( \boldsymbol{f} = [0,1,0]^T \)）#

\( R_y(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta\\0&1&0\\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{bmatrix} \)

7.2.4.3 绕z轴旋转（\( \boldsymbol{f} = [0,0,1]^T \)）#

\( R_z(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix} \)

7.3 计算步骤速查（以罗德里格斯公式为例）#

  1. 确定\( \boldsymbol{f} \)（单位化）和\( \theta \)，计算\( \cos\theta \)、\( \sin\theta \)；

  2. 分别计算\( \cos\theta \cdot \boldsymbol{I} \)、\( (1 - \cos\theta) \cdot \boldsymbol{f}\boldsymbol{f}^T \)、\( \sin\theta \cdot [\boldsymbol{f}]_\times \)；

  3. 将三个矩阵对应元素相加，得到最终旋转矩阵\( R(\boldsymbol{f}, \theta) \)。