四元数：从复数推广到三维旋转的数学本质#

四元数由爱尔兰数学家哈密顿于1843年提出，是复数在三维空间的自然推广。其核心价值在于通过“实部+三维虚部”的结构描述旋转，完美规避欧拉角的轴序依赖与奇异问题（如万向锁），成为机器人学、计算机图形学等领域描述三维姿态的核心工具。

1 四元数的定义与表示：实部与虚部的协同作用#

四元数（Quaternion）通常记为\( \boldsymbol{q} \)，标准形式由1个实部和3个虚部组成，完整表达三维旋转的“角度”与“轴方向”信息：

\( \boldsymbol{q} = q_0 + q_1 \boldsymbol{i} + q_2 \boldsymbol{j} + q_3 \boldsymbol{k} \)

  • 实部：\( q_0 \)（无方向属性，对应旋转的“角度信息”）；

  • 虚部：\( q_1 \boldsymbol{i} + q_2 \boldsymbol{j} + q_3 \boldsymbol{k} \)（三维向量形式，记为\( \boldsymbol{q}_v = [q_1, q_2, q_3]^T \)，对应旋转的“轴方向信息”）；

  • 虚数单位规则：\( \boldsymbol{i}^2 = \boldsymbol{j}^2 = \boldsymbol{k}^2 = -1 \)，且满足乘法不可交换：\( \boldsymbol{i}\boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} = -\boldsymbol{j}\boldsymbol{i} \)，\( \boldsymbol{j}\boldsymbol{k} = \boldsymbol{i} = -\boldsymbol{k}\boldsymbol{j} \)，\( \boldsymbol{k}\boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} = -\boldsymbol{i}\boldsymbol{k} \)。

关键性质：

  • 不同单位相乘不满足交换律：\( \boldsymbol{u}\boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{v}\boldsymbol{u} \)（即非交换性）；

  • 对任意两个不同单位 \( \boldsymbol{u} \neq \boldsymbol{v} \)，有 \( \boldsymbol{u}\boldsymbol{v} = -\boldsymbol{v}\boldsymbol{u} \)，称为反交换性；

  • 三个单位满足右手螺旋循环关系：\( \boldsymbol{i} \to \boldsymbol{j} \to \boldsymbol{k} \to \boldsymbol{i} \)。

这些规则可统一记为：

\( \boldsymbol{u}\boldsymbol{v} = -\boldsymbol{v}\boldsymbol{u}, \quad \text{且} \quad \boldsymbol{i}\boldsymbol{j}\boldsymbol{k} = -1 \)

1.1 实部的意义：旋转角度的“余弦映射”#

四元数的实部\( q_0 \)是连接数学表达与物理旋转的核心，仅针对单位四元数（满足\( \|\boldsymbol{q}\| = \sqrt{q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} = 1 \)），其与旋转角度\( \theta \)（绕旋转轴的旋转角度）的关系为：

\( q_0 = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \)

1.1.1 数学关联：实部与角度的直接映射#

通过具体角度计算，可直观理解实部的数值含义：

  • 当\( \theta = 0^\circ \)（无旋转）：\( \cos\left(\frac{0^\circ}{2}\right) = \cos0^\circ = 1 \)，此时\( q_0 = 1 \)，虚部\( q_1 = q_2 = q_3 = 0 \)，四元数为\( \boldsymbol{q} = [1, 0, 0, 0]^T \)；

  • 当\( \theta = 90^\circ \)（直角旋转）：\( \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 \)，此时\( q_0 \approx 0.7071 \)，虚部模长\( \sin45^\circ \approx 0.7071 \)；

  • 当\( \theta = 180^\circ \)（反向旋转）：\( \cos\left(\frac{180^\circ}{2}\right) = \cos90^\circ = 0 \)，此时\( q_0 = 0 \)，四元数仅含虚部；

  • 当\( \theta = 270^\circ \)（逆时针旋转270°，等价于顺时针90°）：\( \cos\left(\frac{270^\circ}{2}\right) = \cos135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.7071 \)，但因四元数\( \boldsymbol{q} \)与\( -\boldsymbol{q} \)等价，实际仍对应90°旋转效果。

1.1.2 物理意义：实部反映旋转“剧烈程度”#

实部数值大小可间接判断旋转的幅度：

  • 若\( q_0 \approx 1 \)（如\( q_0 = 0.999 \)）：\( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0.999 \)，反算得\( \frac{\theta}{2} \approx \arccos0.999 \approx 5.7^\circ \)，即\( \theta \approx 11.4^\circ \)，在IMU实时更新的语境下，可视为“微幅旋转”，常见于IMU（惯性测量单元）的实时姿态更新；

  • 若\( q_0 \approx 0 \)（如\( q_0 = 0.1 \)）：\( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0.1 \)，反算得\( \frac{\theta}{2} \approx \arccos0.1 \approx 84.3^\circ \)，即\( \theta \approx 168.6^\circ \)，属于“大幅旋转”，常见于机械臂末端姿态的快速调整。

1.1.3 工程应用：实部作为计算依据#

在机器人学实践中，实部是误差判断与插值的关键：

  • 误差判断（多传感器融合）：
    设预测姿态四元数为\( \boldsymbol{q}_{pred} = [q_{p0}, q_{p1}, q_{p2}, q_{p3}]^T \)，观测姿态四元数为\( \boldsymbol{q}_{obs} = [q_{o0}, q_{o1}, q_{o2}, q_{o3}]^T \)。
    两者的点积为\( \cos\phi = q_{p0}q_{o0} + q_{p1}q_{o1} + q_{p2}q_{o2} + q_{p3}q_{o3} \)（\( \phi \)为两姿态的角度差）。
    若\( q_{p0}q_{o0} \approx 1 \)（如\( q_{p0} = q_{o0} = 0.99 \)），则\( \cos\phi \approx 1 \)，\( \phi \approx 0^\circ \)，说明误差极小，融合时可降低观测权重；若\( q_{p0}q_{o0} \approx 0 \)，则\( \phi \approx 90^\circ \)，误差极大，需重点修正。

  • SLERP插值稳定性：
    机械臂姿态插值（球面线性插值，SLERP）中，若两四元数点积\( \cos\phi \approx 1 \)（如\( \phi < 5^\circ \)），可简化为线性插值（LERP）并进行归一化,计算量从SLERP的“三角函数+除法”降至“加法+乘法+归一化”，同时保持足够的精度,在典型嵌入式平台（如Cortex-M7）上实测减少约25-40%计算耗时。

标准SLERP公式：
\( \text{SLERP}(t) = \frac{\sin\left((1-t)\phi\right)}{\sin\phi} \cdot \boldsymbol{q}_s + \frac{\sin\left(t\phi\right)}{\sin\phi} \cdot \boldsymbol{q}_e \)

优化后的LERP近似（当\( \phi < 5^\circ \)时适用）：
\( \boldsymbol{q}(t) = \frac{(1-t)\boldsymbol{q}_s + t\boldsymbol{q}_e}{\|(1-t)\boldsymbol{q}_s + t\boldsymbol{q}_e\|} \)

其中，\( \phi = \arccos\left(q_s \cdot q_e\right) \)\( t \in [0,1] \)，\( \boldsymbol{q}_s \)为起始四元数，\( \boldsymbol{q}_e \)为目标四元数

计算量对比：

- **SLERP**：涉及$ \arccos $、$ \sin $运算及除法，计算量较高
- **LERP**：仅需加法、乘法和归一化操作，计算量较低

1.2 虚部的意义：旋转轴的“向量具象”#

四元数的虚部\( \boldsymbol{q}_v = [q_1, q_2, q_3]^T \)是旋转轴的数学载体，与旋转轴单位向量\( \boldsymbol{n} = [n_x, n_y, n_z]^T \)、旋转角度\( \theta \)的关系为：

\( \boldsymbol{q}_v = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \boldsymbol{n} \)

1.2.1 数学定义：虚部的方向与模长#

  • 方向：虚部\( \boldsymbol{q}_v \)的方向与旋转轴\( \boldsymbol{n} \)完全一致（因\( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 \)，\( \theta \in (0, 360^\circ) \)）；
    例：绕X轴旋转时，\( \boldsymbol{n} = [1, 0, 0]^T \)，虚部\( \boldsymbol{q}_v = \left[\sin\frac{\theta}{2}, 0, 0\right]^T \)；绕Y轴旋转时，\( \boldsymbol{q}_v = \left[0, \sin\frac{\theta}{2}, 0\right]^T \)。

  • 模长：虚部的模长\( |\boldsymbol{q}_v| = \sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \)（因\( \boldsymbol{n} \)为单位向量，\( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1 \)）；
    当\( \theta = 90^\circ \)时，\( |\boldsymbol{q}_v| = \sin45^\circ \approx 0.7071 \)；当\( \theta = 180^\circ \)时，\( |\boldsymbol{q}_v| = \sin90^\circ = 1 \)（在\( 0^\circ \leq \theta < 360^\circ \)范围内模长最大）；当\( \theta = 0^\circ \)时，\( |\boldsymbol{q}_v| = 0 \)（无虚部）。

1.2.2 物理意义：虚部定义旋转“空间指向”#

三维旋转的核心是“绕哪个轴转”，虚部的核心作用就是定义这个轴的空间方向：

  • 若仅知实部（如\( q_0 = 0.7071 \)），只能确定旋转角度\( \theta = 90^\circ \)，但无法知道是绕X、Y、Z轴还是任意空间轴旋转；

  • 结合虚部后，才能完整定义旋转：
    例1：\( \boldsymbol{q} = [0.7071, 0.7071, 0, 0]^T \)（虚部\( [0.7071, 0, 0]^T \)）→ 绕X轴旋转90°；
    例2：\( \boldsymbol{q} = [0.7071, 0, 0.7071, 0]^T \)（虚部\( [0, 0.7071, 0]^T \)）→ 绕Y轴旋转90°；
    例3：\( \boldsymbol{q} = [0.7071, 0, 0, 0.7071]^T \)（虚部\( [0, 0, 0.7071]^T \)）→ 绕Z轴旋转90°。

1.2.3 工程应用：虚部作为姿态计算的核心载体#

在机器人学实际开发中，虚部的数值变化直接反映姿态的动态特征，是工程计算的关键：

  • IMU姿态更新（小角度近似）
    IMU输出的角速度\( \boldsymbol{\omega} = [\omega_x, \omega_y, \omega_z]^T \)（单位：rad/s），表示“瞬时旋转轴方向+旋转速率”。在短时间\( \Delta t \)（如0.001s）内，旋转角度\( \theta = \boldsymbol{\omega} \cdot \Delta t \)（小角度），此时\( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \approx \frac{\theta}{2} \)，虚部增量为：

\( \Delta \boldsymbol{q}_v = \frac{\boldsymbol{\omega} \cdot \Delta t}{2} \)

实部增量\( \Delta q_0 \approx 1 - \frac{(\boldsymbol{\omega} \cdot \Delta t)^2}{8} \)（小角度近似\( \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)），增量四元数为\( \Delta \boldsymbol{q} = [\Delta q_0, \Delta \boldsymbol{q}_v]^T \)，当前姿态更新公式为：

\( \boldsymbol{q}_{\text{new}} = \boldsymbol{q}_{\text{old}} \cdot \Delta \boldsymbol{q} \)

  • 姿态误差判断（旋转轴偏差分析）
    设预测姿态四元数\( \boldsymbol{q}_{pred} = [q_{p0}, q_{p1}, q_{p2}, q_{p3}]^T \)，观测姿态四元数\( \boldsymbol{q}_{obs} = [q_{o0}, q_{o1}, q_{o2}, q_{o3}]^T \)，计算虚部差异\( \Delta \boldsymbol{q}_v = [q_{p1}-q_{o1}, q_{p2}-q_{o2}, q_{p3}-q_{o3}]^T \)：

    • 若\( |\Delta \boldsymbol{q}_v| < 0.01 \)（小偏差），说明旋转轴接近，误差主要来自角度（实部差异）；

    • 若\( |\Delta \boldsymbol{q}_v| > 0.1 \)（大偏差），说明旋转轴偏差大，需通过传感器（如视觉）修正轴方向。

  • SLERP插值方向控制（最短路径插值）
    机械臂姿态插值时，若起始四元数\( \boldsymbol{q}_s \)与目标四元数\( \boldsymbol{q}_e \)的虚部点积\( \boldsymbol{q}_{sv} \cdot \boldsymbol{q}_{ev} < 0 \)（方向相反），则两四元数的角度差\( \phi > 180^\circ \)，插值会绕“远路”。此时需将其中一个四元数取反（如\( \boldsymbol{q}_e' = -\boldsymbol{q}_e \)），使虚部点积\( >0 \)，确保插值沿“最短路径”（\( \phi < 180^\circ \)）进行。

1.3 旋转四元数的约束与等价性#

1.3.1 单位长度约束（纯旋转的前提）#

描述旋转的四元数必须满足单位长度约束：

\( \|\boldsymbol{q}\| = \sqrt{q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} = 1 \)

若四元数非单位长度（如\( \|\boldsymbol{q}\| = 2 \)），则旋转向量时会引入缩放（向量长度变为原来的2倍），无法实现纯旋转。工程中需通过“归一化”确保单位长度，归一化公式为：

\( \boldsymbol{q}_{\text{norm}} = \frac{\boldsymbol{q}}{\|\boldsymbol{q}\|} = \left[\frac{q_0}{\|\boldsymbol{q}\|}, \frac{q_1}{\|\boldsymbol{q}\|}, \frac{q_2}{\|\boldsymbol{q}\|}, \frac{q_3}{\|\boldsymbol{q}\|}\right]^T \)

1.3.2 等价四元数（旋转的周期性）#

由于旋转的周期性（旋转\( \theta \)与旋转\( \theta + 360^\circ \)效果一致），单位四元数存在符号相反的等价对：

\( \boldsymbol{q} = [q_0, q_1, q_2, q_3]^T \quad \text{与} \quad -\boldsymbol{q} = [-q_0, -q_1, -q_2, -q_3]^T \quad \text{描述同一旋转} \)

验证：以绕X轴旋转90°为例，\( \boldsymbol{q} = [\cos45^\circ, \sin45^\circ, 0, 0]^T \approx [0.7071, 0.7071, 0, 0]^T \)，而\( -q = [-0.7071, -0.7071, 0, 0]^T \)，对应的旋转角度为\( \theta' = 2\arccos(-0.7071) = 2 \times 135^\circ = 270^\circ \)，但绕X轴旋转270°与旋转-90°（顺时针90°）等价，最终效果与旋转90°一致（因向量旋转方向不影响最终位置）。

2 四元数的核心运算：服务于旋转的数学工具#

四元数的运算规则需满足“姿态更新”“向量旋转”等工程需求，核心包括加法、共轭、逆、乘法，其中乘法是实现旋转复合的关键。

2.1 基础运算（以单位四元数\( \boldsymbol{q} = q_0 + \boldsymbol{q}_v \)、\( \boldsymbol{r} = r_0 + \boldsymbol{r}_v \)为例）#

设\( \boldsymbol{q} = [q_0, q_1, q_2, q_3]^T \)（\( \boldsymbol{q}_v = [q_1, q_2, q_3]^T \)），\( \boldsymbol{r} = [r_0, r_1, r_2, r_3]^T \)（\( \boldsymbol{r}_v = [r_1, r_2, r_3]^T \)），基础运算规则如下：

运算类型

数学公式

说明

加法

\( \boldsymbol{q} + \boldsymbol{r} = (q_0 + r_0) + (q_1 + r_1)\boldsymbol{i} + (q_2 + r_2)\boldsymbol{j} + (q_3 + r_3)\boldsymbol{k} \)

对应分量相加，结果仍为四元数，主要用于误差计算（如\( \Delta \boldsymbol{q} = \boldsymbol{q}_{obs} - \boldsymbol{q}_{pred} \)）

共轭

\( \boldsymbol{q}^* = q_0 - q_1\boldsymbol{i} - q_2\boldsymbol{j} - q_3\boldsymbol{k} = q_0 - \boldsymbol{q}_v \)

虚部取反，用于计算逆和向量旋转

逆

\( \boldsymbol{q}^{-1} = \boldsymbol{q}^* \)（单位四元数）

非单位四元数逆为$ \boldsymbol{q}^{-1} = \boldsymbol{q}^*/

2.2 关键运算：四元数乘法（旋转复合）#

四元数乘法不满足交换律（对应旋转的非交换性，如先绕X轴转再绕Y轴转，与先绕Y轴转再绕X轴转结果不同），其结果由“实部点积”和“虚部叉积+点积”构成，公式为：

\( \boldsymbol{q}\boldsymbol{r} = (q_0 r_0 - \boldsymbol{q}_v \cdot \boldsymbol{r}_v) + (q_0 \boldsymbol{r}_v + r_0 \boldsymbol{q}_v + \boldsymbol{q}_v \times \boldsymbol{r}_v) \)

2.2.1 场景设定#

假设我们需要计算两个旋转的复合效果：

  • 先执行旋转\( \boldsymbol{r} \)（绕X轴旋转90°），四元数为\( \boldsymbol{r} = [\cos45^\circ, \sin45^\circ, 0, 0]^T \approx [0.7071, 0.7071, 0, 0]^T \)；

  • 再执行旋转\( \boldsymbol{q} \)（绕Y轴旋转90°），四元数为\( \boldsymbol{q} = [\cos45^\circ, 0, \sin45^\circ, 0]^T \approx [0.7071, 0, 0.7071, 0]^T \)。

接下来通过直接乘法、矩阵形式两种方法计算复合旋转\( \boldsymbol{q}\boldsymbol{r} \)，并验证其物理意义。

2.2.2 直接按公式计算四元数乘法#

四元数乘法公式：

\( \boldsymbol{q}\boldsymbol{r} = \underbrace{(q_0 r_0 - \boldsymbol{q}_v \cdot \boldsymbol{r}_v)}_{\text{实部}} + \underbrace{(q_0 \boldsymbol{r}_v + r_0 \boldsymbol{q}_v + \boldsymbol{q}_v \times \boldsymbol{r}_v)}_{\text{虚部}} \)

2.2.2.1 拆分四元数结构#

  • \( \boldsymbol{q} = [q_0, q_1, q_2, q_3]^T = [0.7071, 0, 0.7071, 0]^T \)，其实部\( q_0=0.7071 \)，虚部\( \boldsymbol{q}_v = [q_1, q_2, q_3]^T = [0, 0.7071, 0]^T \)；

  • \( \boldsymbol{r} = [r_0, r_1, r_2, r_3]^T = [0.7071, 0.7071, 0, 0]^T \)，其实部\( r_0=0.7071 \)，虚部\( \boldsymbol{r}_v = [r_1, r_2, r_3]^T = [0.7071, 0, 0]^T \)。

2.2.2.2 计算实部#

点积\( \boldsymbol{q}_v \cdot \boldsymbol{r}_v = (0 \times 0.7071) + (0.7071 \times 0) + (0 \times 0) = 0 \)，因此：

\( \text{实部} = q_0 r_0 - \boldsymbol{q}_v \cdot \boldsymbol{r}_v = 0.7071 \times 0.7071 - 0 = 0.5 \)

2.2.2.3 计算虚部#

  • \( q_0 \boldsymbol{r}_v = 0.7071 \times [0.7071, 0, 0]^T = [0.5, 0, 0]^T \)；

  • \( r_0 \boldsymbol{q}_v = 0.7071 \times [0, 0.7071, 0]^T = [0, 0.5, 0]^T \)；

  • 叉积\( \boldsymbol{q}_v \times \boldsymbol{r}_v = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 0 & 0.7071 & 0 \\ 0.7071 & 0 & 0 \end{vmatrix} = [0, 0, -0.5]^T \)（计算过程：\( \boldsymbol{i} \)分量为\( 0.7071 \times 0 - 0 \times 0 = 0 \)，\( \boldsymbol{j} \)分量为\( -(0 \times 0 - 0 \times 0.7071) = 0 \)，\( \boldsymbol{k} \)分量为\( 0 \times 0 - 0.7071 \times 0.7071 = -0.5 \)）。

三者相加得虚部：

\( [0.5, 0, 0]^T + [0, 0.5, 0]^T + [0, 0, -0.5]^T = [0.5, 0.5, -0.5]^T \)

2.2.2.4 直接乘法结果#

\( \boldsymbol{q}\boldsymbol{r} = [\text{实部}, \text{虚部}]^T = [0.5, 0.5, 0.5, -0.5]^T \)

2.2.3 四元数乘法矩阵形式#

四元数乘法可转化为“左乘矩阵×向量”：\( \boldsymbol{q}\boldsymbol{r} = \boldsymbol{Q}_L \cdot \boldsymbol{r} \)，其中\( \boldsymbol{Q}_L \)为\( \boldsymbol{q} \)的左乘矩阵：

\( \boldsymbol{Q}_L = \begin{bmatrix} q_0 & -q_1 & -q_2 & -q_3 \\ q_1 & q_0 & -q_3 & q_2 \\ q_2 & q_3 & q_0 & -q_1 \\ q_3 & -q_2 & q_1 & q_0 \end{bmatrix} \)

2.2.3.1 代入\( \boldsymbol{q} \)的参数构造\( \boldsymbol{Q}_L \)#

\( \boldsymbol{q} = [0.7071, 0, 0.7071, 0]^T \)，因此：

\( \boldsymbol{Q}_L = \begin{bmatrix} 0.7071 & 0 & -0.7071 & 0 \\ 0 & 0.7071 & 0 & 0.7071 \\ 0.7071 & 0 & 0.7071 & 0 \\ 0 & -0.7071 & 0 & 0.7071 \end{bmatrix} \)

2.2.3.2 计算\( \boldsymbol{Q}_L \cdot \boldsymbol{r} \)#

\( \boldsymbol{r} = [0.7071, 0.7071, 0, 0]^T \)，矩阵乘法结果：

\( \begin{bmatrix} 0.7071 \times 0.7071 + 0 \times 0.7071 + (-0.7071) \times 0 + 0 \times 0 \\ 0 \times 0.7071 + 0.7071 \times 0.7071 + 0 \times 0 + 0.7071 \times 0 \\ 0.7071 \times 0.7071 + 0 \times 0.7071 + 0.7071 \times 0 + 0 \times 0 \\ 0 \times 0.7071 + (-0.7071) \times 0.7071 + 0 \times 0 + 0.7071 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} \)

与直接乘法结果完全一致，验证了计算正确性。

2.2.4 解读物理意义#

四元数乘法\( \boldsymbol{q}\boldsymbol{r} \)的物理意义是“先执行\( \boldsymbol{r} \)的旋转，再执行\( \boldsymbol{q} \)的旋转”(核心是“左乘后转、右乘先转”的旋转复合规则)：

  1. 初始坐标系 → 执行\( \boldsymbol{r} \)（绕X轴转90°）→ 中间状态；

  2. 中间状态 → 相对于r旋转后的随体坐标系执行\( \boldsymbol{q} \)（绕Y轴转90°）→ 最终状态。

\( \boldsymbol{q}\boldsymbol{r} = [0.5, 0.5, 0.5, -0.5]^T \)正是这一复合旋转的四元数表示，与“先X轴、后Y轴”的旋转顺序完全对应。

2.2.5 坐标系注意：固定坐标系与随体坐标系的区别#

固定坐标系（Fixed Coordinate System）

  • 定义：坐标系的轴方向固定不变，不随物体的运动或旋转而改变，是“绝对静止”的基准, 此时复合旋转用左乘，即\( \boldsymbol{q}_{\text{total}} = \boldsymbol{q}_2 \cdot \boldsymbol{q}_1 \)（先\( \boldsymbol{q}_1 \)，再\( \boldsymbol{q}_2 \)）。

  • 别称：全局坐标系（Global Coordinate System）、惯性坐标系（Inertial Frame），三者本质一致，只是应用场景中的称呼不同（如实验室坐标系、世界坐标系均属于固定坐标系）。

  • 旋转特点：所有旋转操作的轴（如X、Y、Z轴）都以固定坐标系为基准，即“绝对旋转”（Extrinsic Rotation）。

  • **典型应用:**描述物体在世界中的绝对姿态）。

  • 示例：
    若固定坐标系为地面坐标系（X轴向东，Y轴向北，Z轴向上），则“绕固定X轴旋转”始终以地面的东西方向为轴，与物体自身朝向无关。

随体坐标系（Body-Fixed Coordinate System）

  • 定义：坐标系的原点与物体质心重合，轴方向随物体的运动或旋转一起同步运动，始终“绑定”在物体上，此时增量旋转用右乘，即\( \boldsymbol{q}_{\text{new}} = \boldsymbol{q}_{\text{old}} \cdot \Delta\boldsymbol{q} \)（\( \Delta\boldsymbol{q} \)为体坐标系下的增量旋转）。

  • 别称：体坐标系（Body Coordinate System）、局部坐标系（Local Frame），二者完全等价，均随物体运动。

  • 旋转特点：所有旋转操作的轴（如X、Y、Z轴）以物体当前的自身坐标系为基准，即“相对旋转”（Intrinsic Rotation）。

  • **典型应用:**描述物体自身的相对转动（如机器人关节旋转）。

  • 示例：
    若随体坐标系绑定在机器人上（X轴沿机器人前方，Y轴沿机器人左侧，Z轴向上），则“绕随体X轴旋转”是机器人绕自身前进方向的旋转（如翻滚），轴的方向会随机器人转向而改变。

2.3 核心应用：四元数旋转向量#

四元数的核心用途是“旋转三维向量”（如传感器测量的点云、关节位置向量），其原理是将向量转化为纯虚四元数，通过“三明治乘法”（sandwich product）实现旋转，再提取虚部得到结果。

2.3.1 旋转步骤（以向量\( \boldsymbol{v} = [x, y, z]^T \)、旋转四元数\( \boldsymbol{q} \)为例）#

  1. 向量转纯虚四元数：将三维向量\( \boldsymbol{v} \)转化为实部为0的纯虚四元数\( \boldsymbol{v}_q \)：

\( \boldsymbol{v}_q = 0 + x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} = [0, x, y, z]^T \)

  1. 三明治乘法计算旋转后四元数：因\( \boldsymbol{q} \)是单位四元数，\( \boldsymbol{q}^{-1} = \boldsymbol{q}^* \)，旋转公式为：

\( \boldsymbol{v}_q' = \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{v}_q \cdot \boldsymbol{q}^* \)

  1. 提取虚部得到旋转后向量：\( \boldsymbol{v}_q' \)的虚部即为旋转后的向量\( \boldsymbol{v}' = [x', y', z']^T \)。

2.3.2 详细计算示例（绕Z轴旋转90°，向量\( \boldsymbol{v} = [1, 0, 0]^T \)）#

场景设定：

  • 旋转操作：绕Z轴（单位向量\( \boldsymbol{n} = [0, 0, 1]^T \)）旋转90°（\( \theta = 90^\circ \)），假设旋转遵循右手定则，即逆时针方向为正；

  • 待旋转向量：\( \boldsymbol{v} = [1, 0, 0]^T \)（X轴正方向单位向量）；

  • 目标：计算旋转后的向量\( \boldsymbol{v}' \)。

2.3.2.1 步骤1：构造旋转四元数\( \boldsymbol{q} \)#

绕轴\( \boldsymbol{n} \)旋转\( \theta \)的单位四元数公式为：

\( \boldsymbol{q} = \left[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right), \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot n_x, \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot n_y, \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot n_z \right]^T \)

代入\( \theta = 90^\circ \)，\( \boldsymbol{n} = [0, 0, 1]^T \)：

  • \( \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 \)（实部\( q_0 \)）；

  • \( \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 \)，虚部分量为：
    \( q_1 = \sin45^\circ \cdot n_x = 0.7071 \times 0 = 0 \)，
    \( q_2 = \sin45^\circ \cdot n_y = 0.7071 \times 0 = 0 \)，
    \( q_3 = \sin45^\circ \cdot n_z = 0.7071 \times 1 = 0.7071 \)；

因此，旋转四元数为：

\( \boldsymbol{q} = [0.7071, 0, 0, 0.7071]^T \)

2.3.2.2 步骤2：将向量\( \boldsymbol{v} \)转为纯虚四元数\( \boldsymbol{v}_q \)#

三维向量\( \boldsymbol{v} = [1, 0, 0]^T \)对应的纯虚四元数（实部为0）为：

\( \boldsymbol{v}_q = [0, 1, 0, 0]^T \)

2.3.2.3 步骤3：计算\( \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{v}_q \)（第一步乘法）#

根据四元数乘法公式\( \boldsymbol{q}\boldsymbol{r} = (q_0 r_0 - \boldsymbol{q}_v \cdot \boldsymbol{r}_v) + (q_0 \boldsymbol{r}_v + r_0 \boldsymbol{q}_v + \boldsymbol{q}_v \times \boldsymbol{r}_v) \)，其中\( \boldsymbol{q} = [q_0, \boldsymbol{q}_v] = [0.7071, [0, 0, 0.7071]] \)，\( \boldsymbol{v}_q = [r_0, \boldsymbol{r}_v] = [0, [1, 0, 0]] \)：

  1. 计算实部：
    \( q_0 r_0 - \boldsymbol{q}_v \cdot \boldsymbol{r}_v = 0.7071 \times 0 - (0 \times 1 + 0 \times 0 + 0.7071 \times 0) = 0 - 0 = 0 \)；

  2. 计算虚部：

    • \( q_0 \boldsymbol{r}_v = 0.7071 \times [1, 0, 0]^T = [0.7071, 0, 0]^T \)；

    • \( r_0 \boldsymbol{q}_v = 0 \times [0, 0, 0.7071]^T = [0, 0, 0]^T \)；

    • \( \boldsymbol{q}_v \times \boldsymbol{r}_v = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 0 & 0 & 0.7071 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = [0 \times 0 - 0.7071 \times 0, 0.7071 \times 1 - 0 \times 0, 0 \times 0 - 0 \times 1]^T = [0, 0.7071, 0]^T \)；

    • 虚部总和：\( [0.7071, 0, 0]^T + [0, 0, 0]^T + [0, 0.7071, 0]^T = [0.7071, 0.7071, 0]^T \)；

  3. 第一步乘法结果：

\( \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{v}_q = [0, 0.7071, 0.7071, 0]^T \)

2.3.2.4 步骤4：计算\( \boldsymbol{q}^* \)（四元数共轭）#

单位四元数的共轭为虚部取反：

\( \boldsymbol{q}^* = [q_0, -q_1, -q_2, -q_3]^T = [0.7071, 0, 0, -0.7071]^T \)

2.3.2.5 步骤5：计算\( \boldsymbol{v}_q' = (\boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{v}_q) \cdot \boldsymbol{q}^* \)（第二步乘法）#

设\( \boldsymbol{a} = \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{v}_q = [a_0, \boldsymbol{a}_v] = [0, [0.7071, 0.7071, 0]] \)，\( \boldsymbol{q}^* = [b_0, \boldsymbol{b}_v] = [0.7071, [0, 0, -0.7071]] \)，代入乘法公式：

  1. 计算实部：
    \( a_0 b_0 - \boldsymbol{a}_v \cdot \boldsymbol{b}_v = 0 \times 0.7071 - (0.7071 \times 0 + 0.7071 \times 0 + 0 \times (-0.7071)) = 0 - 0 = 0 \)；

  2. 计算虚部：

    • \( a_0 \boldsymbol{b}_v = 0 \times [0, 0, -0.7071]^T = [0, 0, 0]^T \)；

    • \( b_0 \boldsymbol{a}_v = 0.7071 \times [0.7071, 0.7071, 0]^T = [0.5, 0.5, 0]^T \)；

    • \( \boldsymbol{a}_v \times \boldsymbol{b}_v = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 0.7071 & 0.7071 & 0 \\ 0 & 0 & -0.7071 \end{vmatrix} = [0.7071 \times (-0.7071) - 0 \times 0, 0 \times 0 - 0.7071 \times (-0.7071), 0.7071 \times 0 - 0.7071 \times 0]^T = [-0.5, 0.5, 0]^T \)；

    • 虚部总和：\( [0, 0, 0]^T + [0.5, 0.5, 0]^T + [-0.5, 0.5, 0]^T = [0, 1, 0]^T \)；

  3. 第二步乘法结果：

\( \boldsymbol{v}_q' = [0, 0, 1, 0]^T \)

2.3.2.6 步骤6：提取旋转后向量\( \boldsymbol{v}' \)#

\( \boldsymbol{v}_q' \)的虚部为\( [0, 1, 0]^T \)，即旋转后的向量：

\( \boldsymbol{v}' = [0, 1, 0]^T \)

2.3.2.7 结果验证#

几何意义上，绕Z轴逆时针旋转90°后，X轴正方向的向量\( [1, 0, 0]^T \)应指向Y轴正方向\( [0, 1, 0]^T \)，与计算结果一致，证明四元数旋转的正确性。

2.3.3 坐标系转换：随体系与固定系的切换#

设四元数\( \boldsymbol{q} \)表示“从随体坐标系（Body Frame，如机器人自身）到固定坐标系（World Frame，如实验室）的旋转”，则向量旋转方向需根据坐标系切换：

  • 随体系→固定系：若向量\( \boldsymbol{v} \)在随体系中，需旋转到固定系，公式为：

\( \boldsymbol{v}_{\text{world}} = \text{Im}(\boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{v}_{body,q} \cdot \boldsymbol{q}^*) \)

（\( \text{Im}() \)表示提取虚部）

  • 固定系→随体系：若向量\( \boldsymbol{v} \)在固定系中，需旋转到随体系，公式为：

\( \boldsymbol{v}_{\text{body}} = \text{Im}(\boldsymbol{q}^* \cdot \boldsymbol{v}_{world,q} \cdot \boldsymbol{q}) \)

3 实部为\( \theta/2 \)：旋转复合与数学一致性的必然#

实部取\( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \)并非人为规定，而是为了满足“旋转复合的物理逻辑”、“与复数旋转的兼容性”、“与旋转矩阵的等价性”三个核心需求。

3.1 旋转复合的一致性：两次旋转叠加的数学验证#

假设四元数\( \boldsymbol{q} \)对应绕某轴旋转\( \theta \)，若连续旋转两次（先转\( \theta \)，再转\( \theta \)），总旋转角度为\( 2\theta \)，数学上等价于四元数乘法\( \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q} \)(公式见2.2)。

步骤1：假设实部为\( \cos\theta \)（错误假设）
若\( q_0 = \cos\theta \)，虚部\( \boldsymbol{q}_v = \sin\theta \cdot \boldsymbol{n} \)（\( \boldsymbol{n} \)为旋转轴单位向量），则：

\( \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q} = \left[\cos^2\theta - \sin^2\theta, 2\sin\theta\cos\theta \cdot \boldsymbol{n}\right] = [\cos2\theta, \sin2\theta \cdot \boldsymbol{n}] \)

看似对应\( 2\theta \)旋转，但当叠加第三次旋转时（总角度\( 3\theta \)），\( \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q} \)的实部为\( \cos2\theta \cdot \cos\theta - \sin2\theta \cdot \sin\theta = \cos3\theta \)，虚部为\( \cos2\theta \cdot \sin\theta \cdot \boldsymbol{n} + \sin2\theta \cdot \cos\theta \cdot \boldsymbol{n} = \sin3\theta \cdot \boldsymbol{n} \)，虽数学上仍成立，但在连续小角度旋转的累积模型中，这种映射会导致物理直观上的不一致（因实际旋转中，连续三次小角度旋转的累积误差与一次大角度旋转不同）。

步骤2：实部为\( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \)（正确设定）
若\( q_0 = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \)，虚部\( \boldsymbol{q}_v = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \boldsymbol{n} \)，则：

\( \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q} = \left[\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right), 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \boldsymbol{n}\right] \)

根据三角恒等式\( \cos^2x - \sin^2x = \cos2x \)、\( 2\sin x\cos x = \sin2x \)，代入得：

\( \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{q} = \left[\cos\theta, \sin\theta \cdot \boldsymbol{n}\right] \)

恰好对应“绕同一轴旋转\( \theta \)”的四元数，完美契合“两次小旋转叠加为一次大旋转”的物理逻辑，且可无限次叠加（如\( \boldsymbol{q}^k \)对应旋转\( k \cdot \frac{\theta}{2} \times 2 = k\theta \)）。

3.2 与复数旋转的兼容性：从二维到三维的推广#

复数旋转是二维平面的旋转描述，四元数是三维空间的推广，两者需保持逻辑一致：

  • 二维复数旋转：旋转\( \theta \)的复数为\( z = \cos\theta + i\sin\theta \)（极坐标形式），变换公式为\( z' = z \cdot z_0 \)（\( z_0 \)为原复数），因二维仅需“角度”即可定义旋转（绕垂直于平面的轴），无需额外维度；

  • 三维四元数旋转：需“旋转轴+角度”共同定义（比二维多一个维度），若仍用\( \cos\theta \)作为实部，会导致“旋转轴与角度的映射歧义”（如同一角度可能对应多个旋转轴）。
    例：若实部为\( \cos90^\circ = 0 \)，虚部为\( [0, 0, 1] \)或\( [0, 1, 0] \)，无法区分是绕Z轴还是Y轴旋转；而实部用\( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \)，虚部明确指向旋转轴，可无歧义映射（如绕Z轴旋转90°的虚部为\( [0, 0, \sin45^\circ] \)，绕Y轴则为\( [0, \sin45^\circ, 0] \)）。

3.3 与旋转矩阵的等价性：数学推导验证#

四元数与旋转矩阵是三维旋转的两种表示，必须满足“同一旋转，两种表达结果一致”，\( \theta/2 \)是实现等价的关键。

步骤1：轴角旋转矩阵公式
绕单位轴\( \boldsymbol{n} = [n_x, n_y, n_z]^T \)旋转\( \theta \)的旋转矩阵为：

\( R(\boldsymbol{n}, \theta) = \begin{bmatrix} n_x^2(1-\cos\theta) + \cos\theta & n_xn_y(1-\cos\theta) - n_z\sin\theta & n_xn_z(1-\cos\theta) + n_ysin\theta \\ n_xn_y(1-\cos\theta) + n_z\sin\theta & n_y^2(1-\cos\theta) + \cos\theta & n_yn_z(1-\cos\theta) - n_xsin\theta \\ n_xn_z(1-\cos\theta) - n_ysin\theta & n_yn_z(1-\cos\theta) + n_xsin\theta & n_z^2(1-\cos\theta) + \cos\theta \end{bmatrix} \)

步骤2：四元数转旋转矩阵公式
单位四元数\( \boldsymbol{q} = [q_0, q_1, q_2, q_3]^T \)（\( q_1 = n_x\sin\frac{\theta}{2} \)，\( q_2 = n_y\sin\frac{\theta}{2} \)，\( q_3 = n_z\sin\frac{\theta}{2} \)）对应的旋转矩阵为：

\( R(\boldsymbol{q}) = \begin{bmatrix} 1-2q_2^2-2q_3^2 & 2q_1q_2-2q_0q_3 & 2q_1q_3+2q_0q_2 \\ 2q_1q_2+2q_0q_3 & 1-2q_1^2-2q_3^2 & 2q_2q_3-2q_0q_1 \\ 2q_1q_3-2q_0q_2 & 2q_2q_3+2q_0q_1 & 1-2q_1^2-2q_2^2 \end{bmatrix} \)

步骤3：等价性验证（以\( R_{11} \)元素为例）
将\( q_1 = n_x\sin\frac{\theta}{2} \)、\( q_2 = n_y\sin\frac{\theta}{2} \)、\( q_3 = n_z\sin\frac{\theta}{2} \)代入\( R(\boldsymbol{q}) \)的\( R_{11} \)元素：

\( R_{11} = 1 - 2q_2^2 - 2q_3^2 = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2}(n_y^2 + n_z^2) \)

由于\( n_y^2 + n_z^2 = 1 - n_x^2 \)，代入得：

\( R_{11} = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2}(1 - n_x^2) = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2} + 2\sin^2\frac{\theta}{2}n_x^2 \)

根据三角恒等式\( 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2} = \cos\theta \)和\( 2\sin^2\frac{\theta}{2} = 1 - \cos\theta \)，代入得：

\( R_{11} = \cos\theta + (1 - \cos\theta)n_x^2 \)

与轴角旋转矩阵的\( R_{11} \)元素完全一致，证明实部取\( \theta/2 \)时，四元数与旋转矩阵等价。

4 四元数的核心价值与工程意义#

四元数以“实部（角度）+虚部（轴方向）”的协同结构，通过严格的数学运算实现了三维旋转的高效、无歧义描述，其核心优势体现在：

  1. 无奇异问题：避免欧拉角的万向锁（如当俯仰角为90°时，滚转角与偏航角耦合）；

  2. 计算高效：四元数乘法仅需16次乘法+12次加法，比旋转矩阵（27次乘法+18次加法）计算量减少约40%；

  3. 插值平滑：SLERP插值可实现球面平滑过渡，避免线性插值的非匀速问题。

在机器人学、无人机、VR/AR等领域，四元数是姿态描述与计算的核心工具，理解其“实部与虚部的协同关系”及“运算规则”，是实现高精度姿态控制的基础。