齐次变换#

齐次变换（Homogeneous Transformation）是一个4×4的方阵（记为 \( {}^A T_B \)），其核心作用是：用一个矩阵同时包含“坐标系{B}相对于{A}的姿态（旋转）”和“原点位置（平移）”，将直角坐标下的非齐次复合变换（旋转+平移）转化为齐次坐标下的单一矩阵乘法。

1 齐次变换矩阵的结构#

齐次变换矩阵 \( {}^A T_B \) 的标准形式为：

\( {}^A T_B = \begin{bmatrix} {}^A R_B & {}^A \mathbf{p}_{B_o} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} \)

各部分含义如下：

  • **左上角3×3子矩阵 **\( {}^A R_B \)：旋转矩阵，描述{B}相对于{A}的姿态（与前文旋转坐标变换的旋转矩阵完全一致）；

  • **右上角3×1子矩阵 **\( {}^A \mathbf{p}_{B_o} \)：位置向量，描述{B}的原点相对于{A}原点的位置（与前文平移坐标变换的位置向量完全一致）；

  • **左下角1×3子矩阵 **\( \mathbf{0}^\top \)：全零行向量 \( [0,0,0] \)，是齐次维度的“结构占位符”；

  • **右下角元素 **\( 1 \)：齐次维度的“比例系数固定项”，确保齐次坐标转换为直角坐标时比例正确。

2 齐次变换的核心功能：坐标转换#

对于空间任一点 \( p \)，若其在{B}中的齐次坐标为 \( {}^B \widetilde{\mathbf{p}} = [x_B, y_B, z_B, 1]^\top \)（\( w=1 \) 是点的标准齐次形式），则其在{A}中的齐次坐标 \( {}^A \widetilde{\mathbf{p}} \) 可通过齐次变换矩阵直接计算：

\( {}^A \widetilde{\mathbf{p}} = {}^A T_B \cdot {}^B \widetilde{\mathbf{p}} \)

展开计算后可验证其与直角坐标复合变换的等价性：

\[\begin{split} \begin{bmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}^A R_B & {}^A \mathbf{p}_{B_o} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}^A R_B \cdot [x_B, y_B, z_B]^\top + {}^A \mathbf{p}_{B_o} \\ 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

去掉第4行的“1”，即可还原直角坐标的复合变换公式：

\( {}^A \mathbf{p} = {}^A R_B \cdot {}^B \mathbf{p} + {}^A \mathbf{p}_{B_o} \)

这说明齐次变换与直角坐标的复合变换完全等价，只是形式更统一，便于级联运算（如机器人运动学中的链式变换）。

3 齐次变换的“线性性”辨析#

3.1 齐次变换在4D齐次空间中是线性算子#

齐次变换的数学表达为：对任意4维齐次向量 \( \widetilde{\boldsymbol{\alpha}} \)（无论是点还是方向），变换后的齐次向量为：

\( \widetilde{\boldsymbol{\alpha}}' = {}^A T_B \cdot \widetilde{\boldsymbol{\alpha}} \)

由于矩阵乘法天然满足：

  • 可加性：\( T(\widetilde{\boldsymbol{u}} + \widetilde{\boldsymbol{v}}) = T\widetilde{\boldsymbol{u}} + T\widetilde{\boldsymbol{v}} \)

  • 齐次性：\( T(k\widetilde{\boldsymbol{u}}) = k \cdot T\widetilde{\boldsymbol{u}} \)

因此，在4维向量空间中，齐次变换矩阵是一个线性算子。

3.2 但在3D几何空间中，点的变换是仿射的，不是线性的#

关键区别在于对象类型：

对象类型

齐次坐标形式

几何意义

变换性质

点（Point）

\( [x, y, z, 1]^\top \)

空间中的位置

仿射变换：\( \mathbf{p}' = {}^A R_B \cdot \mathbf{p} + {}^A \mathbf{p}_{B_o} \)

方向/向量（Vector）

\( [x, y, z, 0]^\top \)

方向或位移

线性变换：\( \mathbf{v}' = {}^A R_B \cdot \mathbf{v} \)

在仿射空间中，点 + 点 没有定义。只有：

  • 点 + 向量 = 点

  • 向量 + 向量 = 向量

  • 点 − 点 = 向量

详见附录4.2。

因此，不能将两个点的齐次坐标直接相加来验证“线性性”，因为这种加法在几何上无意义。

3.3 为什么直角坐标的旋转+平移是非线性的？#

  • 在3D直角坐标中，平移操作为 \( \boldsymbol{\mathbf{p}}' = \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{c}} \)（\( \boldsymbol{\mathbf{c}} \) 为平移向量）。

  • 它不满足线性变换的基本条件：

\( T(\boldsymbol{\mathbf{u}} + \boldsymbol{\mathbf{v}}) = \boldsymbol{\mathbf{u}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{c}} \neq (\boldsymbol{\mathbf{u}} + \boldsymbol{\mathbf{c}}) + (\boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{c}}) = T(\boldsymbol{\mathbf{u}}) + T(\boldsymbol{\mathbf{v}}) \)

  • 因此，3D点的旋转+平移是仿射变换，不是线性变换。

而齐次坐标通过升维，将仿射变换嵌入到高维线性空间中，使得整个变换可用单一矩阵乘法表示——这是其强大之处，但不改变其在3D空间中的仿射本质。

3.4 案例：绕 x 轴旋转 30° + 沿 y 轴平移 5 个单位#

3.4.1 定义案例核心参数#

旋转参数（绕 x 轴旋转 \( \theta = 30^\circ \)）
绕 x 轴的 3×3 旋转矩阵为：

\( R_x(30^\circ) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos30^\circ & -\sin30^\circ \\ 0 & \sin30^\circ & \cos30^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -0.5 \\ 0 & 0.5 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.866 & -0.5 \\ 0 & 0.5 & 0.866 \end{bmatrix} \)

平移参数
沿 y 轴平移 5 个单位，平移向量为：

\( {}^A \mathbf{p}_{B_o} = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix} \)

齐次变换矩阵

\( {}^A T_B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.866 & -0.5 & 5 \\ 0 & 0.5 & 0.866 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

3.4.2 正确验证线性性：仅对方向向量（\( w=0 \)）成立#

3.4.2.1 测试对象：方向向量（\( w=0 \)）#

设两个方向向量：

  • \( \widetilde{\mathbf{d}_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)（x 轴方向）

  • \( \widetilde{\mathbf{d}_2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)（y 轴方向）

  • 缩放系数 \( k = 3 \)

方向向量的 \( w=0 \)，因此平移项在变换中自动失效。

3.4.2.2 验证可加性（仅适用于向量）#

**第一步：计算 **\( \widetilde{\mathbf{d}_1} + \widetilde{\mathbf{d}_2} \)

\( \widetilde{\mathbf{d}_1} + \widetilde{\mathbf{d}_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)

第二步：先加后变换

$ {}^A T_B \cdot (\widetilde{\mathbf{d}_1} + \widetilde{\mathbf{d}_2}) =

(1)#\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.866 & -0.5 & 5 \\ 0 & 0.5 & 0.866 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

\cdot

(2)#\[\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

= \begin{bmatrix} 1 \ 0.866 \ 0.5 \ 0 \end{bmatrix} $

第三步：先变换后加

  • \( {}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{d}_1} = [1, 0, 0, 0]^T \)

  • \( {}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{d}_2} = [0, 0.866, 0.5, 0]^T \)

  • 和：\( [1, 0.866, 0.5, 0]^T \)

两者结果一致，可加性成立。

3.4.2.3 验证齐次性（仅适用于向量）#

**第一步：计算 **\( k \widetilde{\mathbf{d}_1} = 3 \cdot [1,0,0,0]^T = [3,0,0,0]^T \)

第二步：先缩放后变换

$ {}^A T_B \cdot (k \widetilde{\mathbf{d}_1}) =

(3)#\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.866 & -0.5 & 5 \\ 0 & 0.5 & 0.866 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

\cdot

(4)#\[\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

= \begin{bmatrix} 3 \ 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} $

第三步：先变换后缩放

  • \( {}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{d}_1} = [1, 0, 0, 0]^T \)

  • \( k \cdot ({}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{d}_1}) = [3, 0, 0, 0]^T \)

两者结果一致，齐次性成立。

3.4.3 关于点（\( w=1 \)）的说明#

若对点进行变换（如 \( \widetilde{\mathbf{u}} = [2,3,4,1]^T \)），变换结果为：

$ {}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{u}} =

(5)#\[\begin{bmatrix} 2 \\ 0.866 \times 3 - 0.5 \times 4 + 5 \\ 0.5 \times 3 + 0.866 \times 4 \\ 1 \end{bmatrix}\]

= \begin{bmatrix} 2 \ 5.598 \ 4.964 \ 1 \end{bmatrix} $

这正确实现了“旋转+平移”。
但不能将两个点相加（如 \( \widetilde{\mathbf{u}} + \widetilde{\mathbf{v}} \)）来验证线性性，因为：

  • 点的集合在仿射空间中不是线性子空间；

  • 点 + 点 无几何定义；

  • 虽然代数上矩阵乘法满足线性，但该性质不适用于点对象。

齐次变换矩阵在4D向量空间上线性，但其对3D点的作用是仿射的；线性性仅对方向向量（\( w=0 \)） 成立。

4 附录#

4.1 从“几何意义”和“代数性质”两个维度区分“点”与“向量”的本质差异#

4.1.1 从“仿射空间的定义”看：点的集合不满足线性子空间的条件#

线性子空间要求集合对“向量加法”和“标量乘法”封闭（即运算结果仍在集合内），但仿射空间中的点不具备这样的封闭性：

  • 若将两个点的齐次坐标直接相加（如 \( \widetilde{\mathbf{u}} = [2,3,4,1]^\top \)，\( \widetilde{\mathbf{v}} = [1,2,3,1]^\top \)），结果为 \( \widetilde{\mathbf{u}}+\widetilde{\mathbf{v}} = [3,5,7,2]^\top \)，其齐次坐标的 \( w=2 \)（非1）。

  • 此时该结果已不是“点的标准齐次形式”（点需满足 \( w=1 \)，需除以2才能还原为点 \( [1.5,2.5,3.5,1]^\top \)），但“除以2”的操作本质是“齐次坐标的比例归一化”，而非线性变换要求的“无额外操作的封闭性”。

  • 因此，点的集合不构成线性子空间，自然不能用“向量加法”验证线性性——这是仿射空间的固有属性，而非齐次变换的特例。

4.1.2 从“几何意义”看：“点+点”无实际物理含义#

在3D几何空间中，“点”和“向量”的物理意义完全不同：

  • 向量（如方向向量 \( w=0 \)）描述“位移”或“方向”，无固定位置，因此“向量+向量”有明确意义（如“向东走2米+向北走3米”，结果是“东北方向的合位移”）；

  • 点（如 \( w=1 \) 的齐次坐标）描述“空间中的具体位置”，有固定坐标，“点+点”的操作无几何解释——例如“北京（点A）+上海（点B）”，无法定义一个新的“位置”，这种加法仅能在代数上计算，却脱离了几何实际。

  • 齐次变换的核心价值是“用4D代数形式表示3D几何变换”，但不能为了满足代数运算而忽略几何意义——因此强调“点+点无几何定义”，是避免“代数形式凌驾于几何本质”的关键。

4.1.3 从“齐次变换的线性性范围”看：线性性仅针对“4D向量”，而非“3D几何对象”#

齐次变换矩阵在4D向量空间中满足线性性（可加性、齐次性），但这种线性性是否适用，需结合“4D向量对应的3D几何对象”判断：

  • 当4D向量是“方向向量的齐次形式”（\( w=0 \)）时，其对应的3D对象是向量——向量本身属于线性空间，因此4D的线性性可直接对应到3D的线性变换（如旋转）；

  • 当4D向量是“点的齐次形式”（\( w=1 \)）时，其对应的3D对象是点——点属于仿射空间，4D的线性性（如点的加法）会破坏“点的几何属性”（如 \( w \) 分量非1），必须通过“归一化”才能还原为点，而“归一化”不是线性操作。

  • 因此，“齐次变换对3D点的作用是仿射的”这一结论，本质是“4D线性变换”与“3D几何对象属性”匹配的结果——线性性仅适用于几何意义上的向量，不适用于点。

4.1.4 点与方向向量的齐次变换对比案例#

为直观验证“齐次变换对3D点是仿射作用，对方向向量是线性作用”，以下通过“同一齐次变换矩阵”分别作用于点和方向向量，对比其运算结果与几何意义的差异。

4.1.4.1 齐次变换矩阵与测试对象#
4.1.4.1.1 齐次变换矩阵（延续前文参数）#

仍使用“绕x轴旋转30°+沿y轴平移5个单位”的齐次变换矩阵 \( {}^A T_B \)：

\( {}^A T_B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.866 & -0.5 & 5 \\ 0 & 0.5 & 0.866 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

4.1.4.1.2 测试对象定义#

类型

齐次坐标（4D）

对应3D几何意义

关键特征

点1（\( \widetilde{\mathbf{u}} \)）

\( [2, 3, 4, 1]^\top \)

3D空间中位置为 \( (2, 3, 4) \) 的点

\( w=1 \)，描述“位置”

点2（\( \widetilde{\mathbf{v}} \)）

\( [1, 2, 3, 1]^\top \)

3D空间中位置为 \( (1, 2, 3) \) 的点

\( w=1 \)，描述“位置”

方向向量1（\( \widetilde{\mathbf{d}_1} \)）

\( [2, 3, 4, 0]^\top \)

3D空间中方向为 \( (2, 3, 4) \) 的向量

\( w=0 \)，描述“方向/位移”

方向向量2（\( \widetilde{\mathbf{d}_2} \)）

\( [1, 2, 3, 0]^\top \)

3D空间中方向为 \( (1, 2, 3) \) 的向量

\( w=0 \)，描述“方向/位移”
4.1.4.2 对比1：“加法运算”的几何意义差异#
4.1.4.2.1 点的“加法”：代数有结果，几何无意义#

步骤1：计算两个点的齐次坐标之和

\( \widetilde{\mathbf{u}} + \widetilde{\mathbf{v}} = [2+1, 3+2, 4+3, 1+1]^\top = [3, 5, 7, 2]^\top \)

  • 代数结果：得到4D向量 \( [3, 5, 7, 2]^\top \)；

  • 几何问题：该向量的 \( w=2≠1 \)，不符合“点的齐次坐标标准形式”，若强行归一化（除以2），得到 \( [1.5, 2.5, 3.5, 1]^\top \)，对应3D点 \( (1.5, 2.5, 3.5) \)——但这个点与原两点 \( (2,3,4) \)、\( (1,2,3) \) 无明确几何关联（既不是中点，也不是合位置），“点+点”的操作无法解释为空间中的任何合理位置关系。

步骤2：验证“先加后变换”与“先变换后加”的不一致性

  • 先加后变换：用 \( {}^A T_B \) 乘以上述和向量

\( {}^A T_B \cdot (\widetilde{\mathbf{u}} + \widetilde{\mathbf{v}}) = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&0.866&-0.5&5\\0&0.5&0.866&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3\\5\\7\\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0.866×5 -0.5×7 +5×2 \\ 0.5×5 +0.866×7 +0×2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 10.83 \\ 8.562 \\ 2 \end{bmatrix} \)

  • 先变换后加：先分别变换两个点，再相加

    • 变换点1：\( {}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{u}} = [2, 5.598, 4.964, 1]^\top \)（前文结果）；

    • 变换点2：\( {}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0.866×2 -0.5×3 +5 \\ 0.5×2 +0.866×3 \\ 1 \end{bmatrix} = [1, 5.232, 3.598, 1]^\top \)；

    • 相加结果：\( [2+1, 5.598+5.232, 4.964+3.598, 1+1]^\top = [3, 10.83, 8.562, 2]^\top \)。

  • 看似“结果一致”，但本质是“齐次坐标加法的代数巧合”——若将结果归一化（除以2），得到3D点 \( (1.5, 5.415, 4.281) \)，而“先变换后加再归一化”与“先加再变换再归一化”的操作，均无任何几何意义（仿射变换不要求点的加法封闭），不能因此认为“点的变换满足线性性”。

4.1.4.2.2 方向向量的“加法”：代数与几何意义完全匹配#

步骤1：计算两个方向向量的齐次坐标之和

\( \widetilde{\mathbf{d}_1} + \widetilde{\mathbf{d}_2} = [2+1, 3+2, 4+3, 0+0]^\top = [3, 5, 7, 0]^\top \)

  • 代数结果：得到4D向量 \( [3, 5, 7, 0]^\top \)；

  • 几何意义：\( w=0 \) 仍符合“方向向量的齐次坐标形式”，对应3D向量 \( (3, 5, 7) \)——该向量是原两个方向向量 \( (2,3,4) \) 与 \( (1,2,3) \) 的“合方向”，几何意义明确（如两个位移的叠加）。

步骤2：验证“先加后变换”与“先变换后加”的一致性

  • 先加后变换：用 \( {}^A T_B \) 乘以上述和向量

\( {}^A T_B \cdot (\widetilde{\mathbf{d}_1} + \widetilde{\mathbf{d}_2}) = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&0.866&-0.5&5\\0&0.5&0.866&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3\\5\\7\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0.866×5 -0.5×7 \\ 0.5×5 +0.866×7 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0.83 \\ 8.562 \\ 0 \end{bmatrix} \)

  • 先变换后加：先分别变换两个方向向量，再相加

    • 变换方向向量1：\( {}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{d}_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0.866×3 -0.5×4 \\ 0.5×3 +0.866×4 \\ 0 \end{bmatrix} = [2, 0.598, 4.964, 0]^\top \)；

    • 变换方向向量2：\( {}^A T_B \cdot \widetilde{\mathbf{d}_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0.866×2 -0.5×3 \\ 0.5×2 +0.866×3 \\ 0 \end{bmatrix} = [1, 0.232, 3.598, 0]^\top \)；

    • 相加结果：\( [2+1, 0.598+0.232, 4.964+3.598, 0+0]^\top = [3, 0.83, 8.562, 0]^\top \)。

  • 结果完全一致，且对应的3D向量 \( (3, 0.83, 8.562) \) 是“原合方向向量 \( (3,5,7) \) 经旋转后的方向”——既满足代数线性性，又符合“方向向量仅受旋转影响（平移项失效）”的几何逻辑，线性性验证有效。

4.1.5 为何差异如此显著？#

  • 本质是“几何对象属性”决定“代数运算适用性”：

    • 方向向量属于线性空间，满足“加法封闭”“标量乘法封闭”，因此齐次变换的4D线性性可直接映射到3D线性变换；

    • 点属于仿射空间，仅定义“点+向量=点”“向量+向量=向量”，不定义“点+点”，因此齐次变换的4D线性性无法直接应用于点。

  • 齐次坐标的“w分量”是关键区分标志：

    • \( w=0 \)：自动屏蔽平移项（矩阵右上角平移向量与0相乘），仅保留旋转/缩放，适配方向向量的线性变换需求；

    • \( w=1 \)：需叠加平移项，但“点的加法”会破坏\( w=1 \)的标准形式，导致几何意义失效，仅能体现仿射变换的“旋转+平移”作用，而非线性性。

4.2 从几何意义和数学定义两方面解释“点 − 点 = 向量”#

4.2.1 从几何直观看：两点确定一段“有向位移”#

用生活场景理解：

  • 假设在3D空间中，点A是“客厅沙发”（坐标 \( {}^A \mathbf{p} = (2, 3, 1) \)），点B是“卧室床头”（坐标 \( {}^B \mathbf{p} = (5, 3, 1) \)）；

  • 当我们从A走到B时，实际发生的是“沿x轴方向移动了3个单位”的位移——这个位移没有固定起点（可以从任何点出发沿此方向移动），正是“向量”的几何本质（向量只描述“方向和长度”，不描述“位置”）；

  • 而“点B − 点A”的计算（\( (5-2, 3-3, 1-1) = (3, 0, 0) \)），恰好就是对这段“从A到B的位移”的量化，结果自然是向量。

简言之：两点的差，描述的是“从第一个点到第二个点的移动过程”，这个过程本身就是向量。

4.2.2 从数学定义看：符合仿射空间的公理规则#

在仿射空间的数学框架中，“点”和“向量”的关系由公理定义，核心规则之一就是：
**对任意两个点 \( P、Q \)，存在唯一的向量 \( \vec{v} \)，使得 **\( Q = P + \vec{v} \)
——这里的 \( \vec{v} \)，就是“从P到Q的向量”，而将等式变形后，就得到：

\( \vec{v} = Q - P \)

对应到坐标计算（以3D直角坐标为例）：

  • 设点P的坐标为 \( {}^P \mathbf{p} = (x_1, y_1, z_1) \)，点Q的坐标为 \( {}^Q \mathbf{p} = (x_2, y_2, z_2) \)；

  • 根据“点 + 向量 = 点”的公理，向量 \( \vec{v} \) 的坐标需满足 \( (x_2, y_2, z_2) = (x_1 + v_x, y_1 + v_y, z_1 + v_z) \)；

  • 解出向量坐标：\( v_x = x_2 - x_1 \)，\( v_y = y_2 - y_1 \)，\( v_z = z_2 - z_1 \)，即 \( \vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = {}^Q \mathbf{p} - {}^P \mathbf{p} \)。

这说明“点 − 点 = 向量”是仿射空间公理的直接推论，是数学定义层面的必然结果。

4.2.3 从齐次坐标验证：计算结果符合向量的齐次形式#

结合之前提到的齐次坐标（点的 \( w=1 \)，向量的 \( w=0 \)），也能验证这一结论：

  • 设点P的齐次坐标为 \( \widetilde{\mathbf{p}} = [x_1, y_1, z_1, 1]^\top \)，点Q的齐次坐标为 \( \widetilde{\mathbf{q}} = [x_2, y_2, z_2, 1]^\top \)；

  • 计算“点Q − 点P”的齐次坐标：\( \widetilde{\mathbf{q}} - \widetilde{\mathbf{p}} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1, 1 - 1]^\top = [v_x, v_y, v_z, 0]^\top \)；

  • 结果的 \( w=0 \)，恰好是“向量的齐次坐标形式”，与我们对向量的定义完全一致——这从代数层面进一步证明了“点的差是向量”。

“点 − 点 = 向量”不是随意的规定，而是几何直观（位移）、数学公理（仿射空间规则）和代数形式（齐次坐标）三者统一的结果，它本质是用“点的位置差”描述“无位置的位移”，是连接“点（描述位置）”和“向量（描述位移）”的核心桥梁。

4.2.4 点与向量的核心运算规则对照表#

该表基于仿射空间定义与齐次坐标特性，梳理了点（P/Q）、向量（\( \vec{u}/\vec{v} \)）的常见运算，明确结果类型、几何意义及关键注意事项，避免混淆。

运算类型

运算表达式

结果类型

几何意义

关键说明

点 + 向量

\( P + \vec{u} \)

点（新点）

从点P出发，沿向量\( \vec{u} \)（方向+长度）移动，得到的新位置

仿射空间的核心基础运算，唯一“点与向量结合”且有意义的操作，如“从A点向东走5米到B点”

点 − 点

\( Q - P \)

向量

从点P指向点Q的“位移向量”，描述两点间的方向和距离，无固定起点

结果向量的齐次坐标\( w=0 \)（自动满足向量形式），如“B点 − A点 = 从A到B的位移”

向量 + 向量

\( \vec{u} + \vec{v} \)

向量（合向量）

两个位移的叠加，遵循平行四边形法则/三角形法则，如“向东3米+向北4米=向东北5米”

线性空间的封闭运算，结果仍为向量，齐次坐标\( w=0 \)保持不变

向量 − 向量

\( \vec{u} - \vec{v} \)

向量（差向量）

从\( \vec{v} \)的终点指向\( \vec{u} \)的终点的位移，可理解为\( \vec{u} + (-\vec{v}) \)

本质是向量加法的延伸，如“向东5米 − 向东3米 = 向东2米”，仍符合线性空间规则

标量 × 向量

\( k \cdot \vec{u} \)（k为标量）

向量（缩放后）

沿\( \vec{u} \)方向缩放k倍（k>0同向，k<0反向，k=0为零向量）

线性变换的核心运算，如“3×向东2米=向东6米”，保持向量属性（\( w=0 \)）

点 + 点

\( P + Q \)

无意义（非点非向量）

无法定义“两个位置相加”的几何含义，如“北京+上海”不能得到新位置

齐次坐标计算结果\( w=2≠1 \)（非点）且\( w≠0 \)（非向量），违背仿射空间公理

标量 × 点

\( k \cdot P \)（k≠1，k为标量）

无意义（非点非向量）

无法定义“位置乘以标量”的几何含义，如“2×北京”不代表任何空间位置

齐次坐标计算结果\( w=k≠1 \)（非标准点形式），且无对应的线性/仿射意义

点 + 标量 / 向量 + 标量

\( P + k \) / \( \vec{u} + k \)

无意义（类型不匹配）

点/向量是多维对象（3D中含x/y/z），标量是一维数值，维度不匹配无法运算

代数上无法进行“多维向量与一维标量”的加法，几何上无任何对应物理意义

3条核心记忆规则

  1. “点”只与“向量”发生“加/减”（点+向量=点，点−点=向量），点与点相加、点与标量运算均无意义；

  2. “向量”可与“向量”进行加/减，或与“标量”进行乘法，运算结果始终为向量，符合线性空间规则；

  3. 齐次坐标是“结果是否有意义”的直观判断工具：点的\( w=1 \)、向量的\( w=0 \)，运算后若\( w \)既非1也非0，则结果无几何意义。